Violin's Blog
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二分查找(上)

发表于 分类于 本文字数： 3.9k 阅读时长 ≈ 10 分钟

今天学习二分查找。

定义

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

时间复杂度

假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。被查找区间的大小变化：

\[ n, \frac{n}{2}, \frac{n}{4}, \frac{n}{8},...\frac{n}{2^k}... \] 其中， \[ 当\frac{n}{2^k}=1时， \] k的值就是缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了k次区间缩小操作，时间复杂度就是\(O(k)\)。通过\(\frac{n}{2^k}=1\)，得到\(k=log_2n\)，所以时间复杂度就是\(O(logn)\)。

常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有\(O(logn)\)的算法执行效率高。比如，\(O(1)\)有可能表示的是一个非常大的常量值，比如\(O(1000)\)，\(O(10000)\)。而logn即使n非常非常大，对应的logn也很小。比如，n等于2的32次方，大约是42亿，也就是说，如果在42亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较32次。

实现

非递归

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# -*- coding:utf-8 -*-
from typing import List


def binary_search(nums: List[int], target: int) -> int:

    low, high = 0, len(nums) - 1

    while low <= high:
        # mid = low + ((high - low) >> 1)
        mid = low + (high - low) // 2

        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] <= target:
            low = mid + 1
        else:
            high = mid - 1
    return -1


if __name__ == '__main__':
    a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10]
    print(binary_search(nums=a, target=2))  # 1
    print(binary_search(nums=a, target=3))  # 2
    print(binary_search(nums=a, target=11))  # -1

递归

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# -*- coding:utf-8 -*-
from typing import List


def binary_search_by_recursion(nums: List[int], target: int) -> int:

    low, high = 0, len(nums) - 1

    while low <= high:

        mid = low + (high - low) // 2

        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            return binary_search(nums[mid+1:], target)
        else:
            return binary_search(nums[:mid-1], target)
    return -1
  
if __name__ == '__main__':
    a = [1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 9]
    print(binary_search_by_recursion(nums=a, target=2))  # 1
    print(binary_search_by_recursion(nums=a, target=3))  # 3
    print(binary_search_by_recursion(nums=a, target=10))  # -1

易错点

  1. 循环退出条件

    注意是low<=high，而不是low<high。当low=high时，如果此时刚好a[low]=a[high]=target，加上终止条件low<high退出循环，导致查找失败。

  2. mid的取值

    实际上，mid=(low+high)//2这种写法是有问题的。因为如果low和high比较大的话，两者之和就有可能溢出。改进的方法是将mid的计算方式写成low+(high-low)//2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，可以将除以2操作转化成位运算low+(high-low)>>1。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

    为什么右移一位相当于除以2，左移一位相当于乘以2？以十进制数举例。如136，左移一位后，空出的位置用0填补，左移一位相当于把小数点右移一位，就变成了1360，相当于136*10；同理，136右移一位后，移出的位舍去，就变成了13，相当于136/10。因此，十进制左移一位相当于乘以10，右移一位相当于除以10。对于二进制的移位操作同样适用。

  3. low和high的更新

    low=mid+1，high=mid-1。注意这里的+1和-1，如果直接写成low=mid或者high=mid，就可能会发生死循环。

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    def binary_search(nums: List[int], target: int) -> int:

        low, high = 0, len(nums) - 1

        while low <= high:
            mid = low + (high - low) // 2

            if nums[mid] == target:
                return mid
            elif nums[mid] < target:
                low = mid
            else:
                high = mid
        return -1
        
        
    if __name__ == '__main__':
        a = [1, 2, 2, 4, 5, 6, 9, 10]
        print(binary_search(nums=a, target=3))  # 出现死循环

局限性

  1. 二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。

  2. 二分查找针对的是有序数据。二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再使用。

  3. 数据量太小不适合二分查找。

    如果要处理的数据量很小，完全没必要用二分查找，顺序遍历就足够了。

    如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过300的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，此时二分查找就比顺序遍历更有优势。

  4. 数据量太大也不适合二分查找。二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。

解答开篇

假设我们有1000w个整数数据，每个数据占8个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这1000w数据中？希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不超过100MB，该怎么做？

内存限制是100MB，每个数据大小是8字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用为1000w*8/1024/1024=76.3MB，符合内存的限制。可以先对这1000w数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。

虽然大部分情况下，用二分查找可以解决的问题，用散列表、二叉树都可以解决。但是，不管是散列表还是二叉树，都会需要比较多的额外的内存空间。二分查找底层依赖的是数组，除了数据本身之外，不需要额外存储其他信息，是最省内存空间的存储方式，所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。

课后思考

  1. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位。参考LeetCode答案：Python 开根号 保留小数点后几位

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    def binary_search_sqrt(x, k):
        low, high = 0, x
        while low <= high:
            mid = low + (high-low) / 2
            if abs(mid * mid - x) < 0.1 ** k:
                # 在误差范围内 保留指定位数
                return round(mid, k)
            elif mid * mid > x:
                high = mid
            else:
                low = mid
                
    if __name__ == '__main__':
        result = binary_search_sqrt(2, 6)  # 1.414214
        result = binary_search_sqrt(4, 6)  # 2.0
        print(result)

  2. 如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变成很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？

    来自置顶评论的答案：假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点（计算中忽略奇偶数差异）：

    第一次查找中间点，需要移动指针n/2次，

    第二次查找中间点，需要移动指针n/4次，

    第三次查找中间点，需要移动指针n/8次，

    ...

    以此类推，直到1次为止。

    总共移动指针次数，根据等比数列求和公式： \[ S_n = \frac{a_1*(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_nq-a_1}{q-1}=\frac{1*\frac{1}{2}-\frac{n}{2}}{\frac{1}{2}-1}=n-1 \] 所以，时间复杂度是\(O(n)\)。

参考链接：

  1. 汇编中移位，为什么左移一位相当于乘以2
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